控制理论与应用输入力矩受限的机器人鲁棒自适应跟踪控制黄春庆h2，王兴贵2，王祖光2（1.上海交通大学自动化系，上海20030；2.军械工程学院一系火炮教研室，河北石家庄，050003）实值时，证明了闭环系统的渐近稳定跟踪；当有干扰存在，常规参数估计自适应控制算法不能实现稳定控制时，本算法仍然使系统稳定。在本算法中，所估计的参数在跟踪控制律前馈项中表现为非线性，这是区别于常规参数估计自适应算法的一个重要特征。因此本算法控制器的设计更有灵活性，另一方面获得更好的控制品质和鲁棒性，特别是对参数域估计误差即参数范围估计错误的强鲁棒性，均为仿真算例所验证。

　　基金项目：教育部高校青年骨干教师基金资助项目。

　　迄今为止，几乎所有控制器设计都建立在关节驱动器能产生任意力矩的基础上；而实际上受物理条件限制，驱动器的输出力矩是有限的，这样的控制器可能导致控制失败或控制品质的恶化。因此控制器的设计必须考虑到关节驱动器的有限驱动能力。

　　对于诸如搬运作业的机器人，有些参数是不确定或者不可知的，基于估计参数自适应控制是处理此类问题的主要控制策略之利用机器人动力学方程的线性参数化性质，通过一个积分运算估计机器人参数。由于积分环节的作用，在持续干扰条件下，控制系统不容易稳定。因此适当限制或调整积分环节的作用是实现自适应控制系统稳定的一个有效手段。早由Lozano和Brogliato提出投影算法（proectionalgorithm），能够把估计参数限制在所规定的范围（包含参数真实值）内，从而提高了自适应控制系统的鲁棒性。但这种算法由6个开关组成，略嫌复杂，而且当真实参数不在所规定的范围内时，它不能给出系统控制品质及鲁棒性等信息。考虑关节驱动器的有限驱动力矩的定点控制（setpointcontrol）问题，利用投影算法，研究了基于数学模型的全局状态反馈控制器和输出反馈自适应控制器；而对于轨迹跟踪问题，研究了未知参数情况下全状态反馈（full-statefeedback）的自适应控制问题和基于模型的输出反馈（outputfeedback）的自适应控制问题。

　　本文提出一种简单的鲁棒自适应控制算法，当估计参数域包含参数真实值时，闭环系统实现渐近稳定跟踪；当存在干扰或估计参数域不包含参数真实值即有估计误差时，系统是有界稳定的。

　　质，利用这些性质改进控制律，提高实时性。

　　数向量t；）的集合及参数集并满足下列条件其中xGI.丨表示值。为简单起见，假设即函数向量由3个标At参数决定，仍记为。Z（m，￡，0，这是中所介绍的一个函数集。连续可导递增函数如Arimoto正弦函数、正切双曲函数、归一化函数和饱和函数等。

　　2.2关于机器人的动力学方程（Robotdynamics）不考虑摩擦和外加干扰，"个回转关节机器人的动力学方程为4）々，（；（<）和re"分别表示离心科氏力、重力和控制输人。

　　本文仅考虑回转关节的机器人系统，具有如下几个特性：其中丨（AMhl）表示小（大）矩阵特征值，kiV是一个正的常数。

　　或P3）对于所有的rw，。t，y，znbsp，存在正的常数n，C2，使得P5）存在连续可导的递增函数向M其中sn，使得其中关节角误差=，心表TT；期望关节轨迹，均为正的常数，为正定的对角矩阵，M，C（-，），（T是已知参数0的动力学方程部分；向量Satd（幻如所示，以。）及以）为连续可导的递增函数向量，BP其中定常向量TT使得外GS，E卩（近似为）注2可以看出，设计鲁棒自适应控制器时，适当选择式（23）中的参数7T的前提条件是参数的估计域S，也就是参数知的大致变化范围。

　　从式（20），（23）看出，初始参数d（0）可以是任意的。不妨选择；r=以0），因为通常认为初始参数d在其真实值知附近的一个邻域。只要（叫）；（￡9），足够大，总能让e S成立当（叫），―时，等同于普通自适应控制算法。为表述方便，假定Kp=kpI，Kv利用性质P6），控制律（19）可写为r=得到闭环系统的动力学方程Mq）q其中由于是连续可导递增函数向量，可见屮也是；但平（幻可能不满足定义中所有的条件，除非兀在不等式（25）的条件下，存在一正定的标量函数使得同样地，定义另一正定标量函数：显然定理考虑机器人的动力学方程（1），假设存在正的常数a，y，常向量；r及函数向量S（W，以），正定的条件是4ac - >0那么条件②意味着综上所述，由李雅普诺夫稳定性定理及LaSalk‘不变集原理，定理得证。

　　注3控制力矩的上界为SIMULINK工具箱，将鲁棒自适应算法与常规自适=9）的结果在干扰存在的情况。下进行比较；另外还比较鲁棒自适应算法中的两个不注意：在估计参数域包含真实参数值时，虽然投影算法也能保证估计参数的有界性；但是，当上述条件未满足时，就得不到有关闭环系统的如稳定性、鲁棒性信息。另外该算法由6个开关组成，显得复杂。本文的算法很简单，简单的是应用饱和函数。当札e s时，可把动力学方程看作其中d0U）=（々，4，g）（0-0丨），空专0丨名。也就是说把参数估计域的误差当作一个干扰办（。适当地整定控制器的参数，鲁棒自适应控制器仍然使闭环系统稳定，虽然并非渐近稳定的。

　　或=0，并非=札。

　　由鲁棒自适应控制律（19），可见，估计参数奴在前馈项中表现为非线性的，这正是与常规自适应算法的重要的区别。因此，式（20）中所估计的参数，对闭环系统来说，其本质上不再是一个参数，超出参数辨识自适应算法的概念。函数向量Sats）的不同选择，体现了鲁棒自适应控制器设施的灵活性，使系统的控制品质和鲁棒性的提高成为可能。

　　本算例是两关节机器人搬运物体，在关节空间内对正弦-余弦（频率。7=1Hz，幅值4=2rad）轨迹的跟踪控制。机器人如，其参数为相应机器人动力学方程的物理参数如下：参数初始估计值=1，其中4 =4，c2为幅值2rad、频率1Hz的方波。

　　选择时，方案2当参数估计域S为时，128矣久矣18，鲁棒自适应控制两种方案系统均是稳定的。

　　2/+逝驽驾-泸-（a）关轨迹盆￠）⑴（b）估汁参数0常规A适应控制算法的仿真结果干扰条件下不同鲁棒自适应算法仿真结果比较——方案1――方案2（b>参数估汁值的函数satg（->在考虑有限关节驱动力矩和机器人参数不确定的条件下，本文提出新的鲁棒自适应控制算法。当参数估计域包含真实参数时，闭环系统实现关节空间轨迹的渐近跟踪；当参数估计域不包含真实参数时，闭环系统仍然是有界稳定的。与投影算法相比较，本文的算法简单易行，更具控制器设计的灵活性；同时本算法解决了干扰条件下自适应系统的鲁棒稳定性问题。所有这些在仿真算例中得到验证。